Logicae

수2 수업을 듣다 보면 $n \times n$ 행렬 $A$에 대해 $\det(A)\ne 0$와 역행렬의 존재는 동치라는 것을 알 수 있다. 이 외에도 선형대수학에 더욱 깊게 들어가면 아이겐 밸류로 $0$을 갖지 않는 것과 커널이 $\{0\}$이라는 것 또한 이와 동치이다. 필자는 지금까지 그냥 이를 받아들이고 살았는데, 이제 와서 (갑자기) 왜 이런 명제가 성립하는지 알고 싶어졌다. 지금부터 이 명제를 증명해보겠다. Determinant와 Invertibility의 관계 증명하고자 하는 공식은 다음과 같다. \[\det(A)\ne 0 \iff\exists A^{-1}\in M_n(F)\] 먼저 $\det(A)\ne 0$일 때 $A$의 역행렬이 존재하는 것부터 증명하겠다. $\det(A)\ne 0$이라고 가정하자.

5 min 지금까지 우리는 양자역학을 수학의 언어로 표현하고, 이를 통해 양자역학의 핵심 원리를 설명하는 방식에 관해 알아보았다. 필자 같은 경우에는 양자역학이라는 매우 추상적인 학문이 수학의 언어를 만나서 점점 구체화되어가는 과정이 매우 흥미로웠다. 물리학자들은 이 수학의 언어로 설명한 원리들을 하나로 정리하기 위해 끊임없는 고민을 하였다. 그 결과, 군더더기를 모두 가지치기하고 정리한 결과 양자역학을 지탱하는 6가지 핵심 원리인 양자역학의 공리를 설립하였다. 고전역학에서 위치, 시간이라는 물리량을 정의하고 이와 관련해 뉴턴의 운동 법칙 3개가 물체의 운동을 기술하는 핵심 기틀이 되는것처럼, 양자역학의 모든 원리와 정리들은 양자역학의 공리 6가지를 기반으로 유도된다. 자, 그러면 이번 글에서는 이전에 배운 내용을 정리하는 시간 겸 해서 양자역학의 공리에 관하여 알아보자. 양자역학의 공리 양자역학에는 총 6개의 공리가 있다.

우리는 지난 두 글동안 파동함수를 $L ^2$ 공간 내의 벡터인 양자 상태로 올렸고, 이 파동함수가 사는 공간의 기저를 이루는 고유상태라는 신기한 친구를 가져와서 양자 중첩을 깔끔히 설명해주었다. 그런데, 이 양자 상태는 그냥 혼자 있으면 우리에게 어떠한 정보도 전달해주지 않는다. 양자 상태가 '연산자' 라는 친구를 만나서 관측가능량을 뱉어주면 우리는 이 양자 상태의 여러 성질을 인지하게 되고, 따라서 우리에게 진짜로 '실재하는 대상'이라는 이미지를 심어준다. 이번 글에서는 이 연산자에 관해 깊게 살펴본다. 특히 $L ^2$ 공간 내에서 연산자의 역할을 살펴보고, 이를 정사각행렬로 만들어 미적분 연산을 간단한 행렬 연산으로 간단화하는 방법을 살펴본다. 그리고, 이 연산자가 고유상태와 어떤 관계가 있는지도 살펴본다. 자, 그럼 연산자의 A부터 Z까지 풀어헤칠 각오를 단단히 하고, 연산자의 세계로 빠져들어보자.

양자화학 시리즈 8편 고유 상태와 양자 중첩 글의 연습문제입니다. 다음 고유상태와 관련된 명제를 증명하시오. 비축퇴 스펙트럼을 갖는 서로 다른 두 Hermitian 연산자 $\hat{Q}$와 $\hat{R}$에 대해, $\hat{Q}$의 모든 고유 상태가 $\hat{R}$의 고유 상태일 필요충분조건은 $[\hat{Q}, \hat{R}] = 0$이다. (단, 비축퇴 스펙트럼이란 모든 고윳값에 대응하는 고유공간의 차원이 1인 경우를 말한다. 즉, 각 고윳값에 대응하는 고유상태는 상수배를 제외하면 유일하다.) 유명한 연속 스펙트럼의 예시 중 하나인 자유입자의 운동량에 대해서 디랙 직교규격화가 도출되는 과정을 알아보자. 운동량 연산자의 위치 표현 $\hat{p} = \frac{h}{i} \frac{\partial}{\partial x}$의 고유함수를 구하시오.

지난 글에서 슈뢰딩거의 고양이 이야기를 마치며 예고했던 대로, 이번엔 아인슈타인이 그토록 불쾌해했다던 그 현상, '양자 얽힘'을 다뤄보려 한다. 아인슈타인은 양자 얽힘을 두고 "유령 같은 원격 작용(spooky action at a distance)"이라 불렀다. 노벨상을 받은, 그것도 빛의 입자성을 증명해 양자역학의 문을 직접 열어젖힌 그 아인슈타인이 정작 양자역학의 어떤 결론에 대해서는 평생 동안 불편해했다는 사실이 흥미롭지 않은가. 대체 얽힘이 무엇이길래 이 위대한 물리학자마저 받아들이길 거부했던 걸까. 양자 얽힘을 이해하기 위해서는 먼저 앞선 글들에서 다룬 중첩 개념을 다시 떠올려야 한다. 회전하는 동전, 기억나는가? 관측하기 전까지 앞면도 뒷면도 아닌, 그 둘이 겹쳐 있는 상태 말이다. 이제 이 회전하는 동전을 두 개 준비해보자. 그리고 이 둘을 아주 특별한 방식으로 엮어놓는다. 어떻게?

지난 글에서는 다양한 중력파원에 대해서 살펴보았다. 밀집 쌍성 병함, 고속 회전하는 비대칭 중성자별, 초신성 폭발, 그리고 우주 전역에 존재하는 확률론적 중력파 배경까지 다양한 방식으로 시공간의 요동이 만들어진다는 것을 알 수 있었다. 그렇다면 이러한 이런 중력파는 '어떤 방향'으로 시공간을 흔들까? 이번 글에서는 중력파의 편광(polarization)에 대해 알아보고자 한다. 편광에 대해 알아보기 전에, 파동이 무엇인지부터 간단히 짚고 넘어가자. 파동은 어떤 물리량이 공간을 전파하는 현상이다. 그런데 파동이 진행하는 방향과, 그 물리량이 진동하는 방향이 항상 같은 것은 아니다. 소리처럼 진행 방향과 진동 방향이 같은 종파(longitudinal wave)도 있고, 줄을 흔들 때처럼 진행 방향에 수직하게 진동하는 횡파(transverse wave)도 있다. 편광은 횡파에서만 나타나는 성질이다.

지난 글에서 우리는 '힐베르트 공간($L^2$ 공간)'과 'Braket 표기법'을 활용해서, 위치나 운동량과 같은 물리량별로 산재되어있는 한 양자 계의 파동함수들을 하나의 '벡터'로써 묶는 방법을 배웠었다. 우리가 지금까지 현상적으로 알아보았었던 현상들이 수학적으로 묶이면서 놀라워했던 독자도 있을 것이고, 현대물리학을 막 처음 배웠던 작년의 나처럼 머리가 지끈지끈 했던 독자도 있을 것이다. 많은 독자들이 지난 글을 읽다가, 이런 불만이 생겼을 것이다. 그래서 이딴 수학덩어리 외계어를 굳이 왜 배우는데?? 나도 비슷한 의문을 가졌었다. 지난 글과는 상관없지만, 전에 5.1편 하이젠베르크의 불확정성 원리 글에서 다뤘었던 파군을 푸리에 변환을 써서 적분기호가 난무하는 함수로 만드는 과정을 보고 경악을 금치 못했었다. 각설하고, 나는 위 질문에 대한 답을 한 줄(두 줄인가?)로 정리할 수 있다.

지난 글에서는 m2op 해법의 핵심 원리인 버퍼와 타겟, 그리고 이를 이용한 순환 추적 과정을 알파벳 예시를 통해 살펴보았다. 다만 마지막에 하나의 질문을 남겨두었다: 버퍼와 타겟의 교환을 실제 큐브에서는 어떻게 구현할 것인가? 이번 글에서는 이 질문에 답하며, "타겟(Target)"과 "셋업무브(Setup Move)"에 대해 알아볼 것이다. 본격적으로 시작하기 앞서, 큐브의 회전기호(R, U, F 등)와 큐브 조각에 아직 익숙하지 않은 독자는 아래 링크를 참고해 먼저 익히고 오는 것을 권장한다. 03화 큐브 조각의 명칭 익히기 조각의 이름 | 센터조각입니다. 3x3x3 큐브에는 6개가 있습니다. 각 면의 중앙에 위치하며 큐브는 센터조각을 축으로 하여 돌아갑니다. 센터조각들의 상대적 위치관계는 바뀌지 않습니다. 엣지조각입니다. 3x3x3 큐브에는 12개가 있습니다. 각 면의 모서리에 대응되며 센터조각과 붙어있습니다. 코너조각입니다. 3x3x3 큐브에는 8개가 있습니다.

지난 글에서는 중력파가 무엇이며, 어떻게 그 존재가 이론적으로 예측되고 간접적 • 직접적 방법을 통해 어떻게 입증되었는지 살펴보았다. 시공간 자체의 요동인 중력파는 질량이 가속 운동을 할 때(정확히는 사중극자 모멘트가 시간에 따라 변할 때) 발생한다는 것을 확인했다. 그렇다면 실제로 우주에는 어떤 천체들이 이러한 조건을 만족시켜 우리가 검출할 수 있을 만큼의 중력파를 만들어낼까? 사실 우리가 우리 주변에서 관측할 수 있는 대부분의 가속 운동은 중력파를 방출한다. 지구가 태양 주위를 돌고, 우리가 손을 흔드는 것도 미세하게나마 중력파를 만들어낸다. 문제는 그 세기다. 중력파의 진폭은 관여하는 질량과 가속도에 비례하는데, 일상적인 물체나 우리가 일상적으로 생각할만한 행성, 항성과 같은 천체들로는 검출 가능할만큼 강한 중력파가 발생하지 않는다.

2026년 6월 현재 3x3x3큐브 눈 가리고 맞추기 종목의 공인 세계기록은 암기시간 포함 11.67초이다. 대한민국 신기록 또한 16.67 초이며, 초등학생을 포함한 많은 큐버들이 블라인드 큐빙(눈 가리고 큐브 맞추기)에 도전하고 있다. 이 정보를 접하는 사람은 대게 두 가지 반응을 보일 것이다. 하나는 순수한 경이로움 일 것이고, 다른 하나는 속임수에 대한 의심이다. 물론 세계 신기록에 도전하는것은 엄청난 훈련을 필요로 하겠지만, 눈을 가리고 큐브를 맞추는 사람이 엄청난 천재이거나, 사기꾼이어서 가능한 일은 아니다. 얼핏 보면 블라인드 큐빙은 순수한 기억력의 영역으로 보일지도 모른다. 3x3x3 큐브를 한 번 돌릴때 변형되는 조각은 8개, 바뀌는 색깔은 20가지에 달한다. 큐브를 한번 한번 돌릴때마다 이 정보를 모두 기억하는것은 사실상 불가능해 보인다. 그럼에도 많은 큐버들이 블라인드 큐빙에 성공하는 이유는, 큐브에 대한 정보를 효율적으로 압축하여 암기하는 특별한 방법이 존재하기 때문이다.