Logicae

​지난 시간에는 양자 입자가 무한대로 치솟은 벽에 갇혀서 존재하는 상자 속 입자 문제에 관해 알아보았다. 무한 퍼텐셜 우물에서 파동함수는 특정 범위 안에서 sin함수의 형태로 존재했었고, 그 범위 밖에서는 파동함수가 0으로 입자가 발견될 확률이 0이었다. 그러면, 벽의 두께와 높이가 유한하면 어떻게 될까? 이와 같이 입자가 유한한 퍼텐셜 벽으로 입사되는 상황을 퍼텐셜 장벽 문제라고 한다. 이와 비슷한 고전역학의 상황에서는 입자가 벽을 맞고 튕겨나오지만, 양자 입자의 경우에는 벽 너머에서도 파동함수가 존재해 입자가 벽 뒤에 존재할 확률이 있다! 이와 같이 양자 입자가 에너지 장벽보다 낮은 에너지를 가지고도 장벽을 통과하여 그 너머에서 입자가 관측되는 현상을 양자 터널링이라고 한다. 그럼 어떻게 이런 직관으로는 절대로 이해가 되지 않는 결과가 나오는지 알아보자. 퍼텐셜 장벽 문제의 퍼텐셜 분포 퍼텐셜 장벽 문제란 퍼텐셜 분포에 유한한 두께와 높이의 벽이 있는 상황을 의미한다.

별은 어떻게 죽을까? 천문학자들은 오랫동안 이 질문을 해결하기 위해 수많은 연구를 진행했으며, 이는 현재까지 지속되고 있다. 별의 죽음에 관한 지난 한 세기동안의 연구는 여러 질문들을 해결하기도 했고, 또 다른 질문들을 낳기도 했다. 지금까지 우리가 알아낸 것 중 가장 신비로운 현상 중 하나는, 별의 죽음 속에서 상당히 특이한 천체들이 형성된다는 것이다. 우리는 이 천체들을 '밀집성(Compact Stars)'이라고 부른다. 밀집성은 이름에서 알 수 있듯이, 큰 질량이 매우 작은 공간에 모여 있는 성질을 가진다. 밀집성의 종류에는 백색왜성(White Dwarf), 중성자별(Neutron Star), 블랙홀(Black Hole)이 있는데, 천문학에 관심있는 독자들이라면 이 천체들에 대해 대략적으로는 알고 있을 것이다. 특히 블랙홀이나 중성자별의 경우에는 각종 영화들에서 많이 다루어서 다들 한번쯤은 들어봤을 수 있다. 이 천체들은 단순히 '작고 무거운 별' 정도로 치부될만한 존재들이 아니다.

6 min $\{D_n\}_{n\in \mathbb{N}}$의 파도를 타는 피카츄 오늘은 Elias M. Stein과 Rami Sakarchi의 [STEIN 푸리에 해석학]에서 소개된 푸리에 급수가 점별수렴하는 조건에 대해 봅니다. 앞선 글들에서 확인한 푸리에 급수의 수렴성은 다음과 같습니다: FA-4: 함수들이 매끄러우면 매끄러울수록 푸리에 급수가 원래 함수로 잘 수렴한다. (푸리에 계수의 합이 절대수렴하면 그 함수의 푸리에 급수는 함수가 연속인 점들에서 원래 함수로 수렴한다. 이때, 푸리에 계수의 감쇄는 함수의 매끄러운 정도에 비례하는데, 간단한 예시로 함수가 k번 미분가능하면 푸리에 계수의 감쇄가 O(1/nk)이어서 정의역에서 2번 미분가능하면 푸리에 급수가 잘 수렴한다.) FA-7: 적분가능한 함수에 대해 점에서 연속이기만 해도 그 점에서 약한 의미에서 푸리에 급수가 원래 함수로 수렴한다.

📐 이번 글에서는 선형대수학의 "벡터 공간"이 많이 나옵니다. 양자화학을 배울 때 벡터 공간을 알고 있으면 파동함수를 이해하기 겁나 쉬워지기 때문에, 아직 선형대수학을 배우지 않은 독자들은 꼭 이 Appendix 글을 읽어보고 옵시다~! 지난 글에서 우리는 양자역학의 가장 기묘한 속성인 ‘불확정성 원리’에 대해 알아보았다. 위치와 운동량을 동시에 정확하게 알 수 없고, 모든 것이 확률적으로만 존재한다는 양자역학 특유의 “애매함”에 다들 뇌가 말랑말랑해졌을 것이다. 저번에는 양자역학의 철학적인 의미와 현상에 집중했다면, 이번에는 다시 파동함수로 돌아오자. 지금까지 우리는 파동함수 $\psi(x)$를 함수로 다루며 그래프를 상상해왔지만, 물리학자들은 사실 이 파동함수를 손으로 그리는 걸 별로 좋아하지 않는다. 성격 급한 물리학자들에게 매번 복잡한 미적분을 계산하는 건 너무 귀찮기 때문이다. 그래서 그들은 엄청난 "꼼수"(?)를 부리기 시작한다.

우리는 흔히 수 체계를 복소수까지로 알고 있다. 그런데 이보다 더 큰 수 체계가 있다는 것을 아는가? 실수에서 복소수로 확장될 때 '음수의 제곱근'이라는 개념을 받아들였듯이, 교환법칙을 포기함으로써 복소수에서 사원수로 확장될 수 있다. 그렇다면 이 사원수가 무엇인지 알아보도록 하자. 사원수의 발견 19세기 수학자들은 복소수를 이용해 2차원 평면에서의 회전을 나타낼 수 있었으나, 3차원 공간으로 확장하는 데 어려움을 겪었다. 아일랜드 수학자 윌리엄 로원 해밀턴(William Rowan Hamilton)은 이런 3차원 공간에서의 회전을 나타내기 위해 고민하던 수학자들 중 하나이다. 3차원 공간에서의 정점은 3개의 수로 이루어지며, 해밀턴은 그 3개의 수들을 어떻게 더하고 곱할 수 있는지에 관해 생각해 왔다. 그러나 그는 두 정점 간의 나누기를 어떻게 정의할지 알지 못했고, 난관에 부딪혔다.

39 min 🤮 이번 글은 저번 무한 퍼텐셜 우물 글에 비해 푸는 과정에서 수학적인 테크닉이 많이 동원됩니다. 이 글을 읽다가 문자 울렁증이 생겨서 못 버티겠으면 이 글을 넘겨도 좋습니다. (유한 퍼텐셜 우물 컨셉 자체가 큰 의미가 있는 게 아니라 무한 퍼텐셜 우물에서 생기는 오차를 보정하기 위해 다루는 느낌이라서, McQuarrie의 양자화학 책에서도 다루지 않는 내용입니다.) 지난 시간에 우리는 양쪽이 무한대 퍼텐셜로 막혀 있어 입자가 마치 상자 안에 갇혀 돌아다니고 있는 것처럼 보이는 "상자 속 입자 문제"에 관해 알아보았다. 그런데 뭔가 이상하지 않은가? "무한"이 값도 아닐 뿐더러, 무한한 값을 가지는 퍼텐셜은 실제 상황에서 존재하지 않는다. 따라서, 무한 퍼텐셜 우물은 실제 상황에서는 존재하지 않는 이상적인 상황이라고 볼 수 있다. 이번 글에서는 조금 더 복잡하지만, 무한 퍼텐셜 우물보다 현실적으로 양자 입자의 병진 운동을 설명할 수 있는 유한 퍼텐셜 우물에 관해 알아보자.

[Stein Real Analysis]를 꺼내 읽다보니 해석학에선 open set의 개념을 중요하게 다룬다는 사실을 새삼 느끼게 되었다. Compactness의 정의인 'Every open cover has finite subcover'만 봐도 그렇다. \( \{O_i\}_{i \in I} \) are open and \(\displaystyle E \subset \bigcup_{i \in I} O_i \) \(E\) is compact iff \[ \exists i_k \in I \,\,\, for\,\, k=1,\,2,\, \cdots N \,\,\,\, s.t. \,\,\, E \subset \bigcup_{k=1}^N O_{i_k}\] 어떤 집합 \( O\)가 open이라는 것은 집합의 모든 점에서 그 점을 중심으로하는 구가 존재해, 그 구가 \( O\)의 부분집합이 된다는 뜻이다.

Introduction 혹시 행렬에 대해 배워봤는가? 그 $n \times m$ 개의 값을 예쁘게 모아둔 그 행렬 말이다. 처음 행렬을 배울 때, 다들 행렬곱이 왜 그따구로 정의되는지 의문이 들었을 것이다. 도대체 이 식이 무슨 의미를 가지는 것일까? \[ \begin{equation*} [AB]_{ij} = \sum_{k = 1}^m [A]_{ik}[B]_{kj} \tag{1} \end{equation*} \] 사실 행렬을 각각의 선형변환에 일대일 대응시킬 때, 행렬곱은 합성변환에 대응된다. 그런 맥락에서 행렬곱이 훨씬 자명하기에, 행렬을 선형변환을 이용해 정의하는 방법도 있다. 이렇게 하면 역행렬, 행렬곱 등등을 자명하게 정의할 수 있지만 전치 행렬을 정의하기가 어렵다. 해당 정의에서 전치 행렬을 정의할 때 이용하는 것이, 바로 dual space이다.

❗ 이번 글도 초반 내용이 전에 필자가 작성했던 상자 속 입자 문제 글과 겹칩니다. 하지만, 상자 속 입자 문제 내용은 양자역학을 이해하는 데 매우 중요하기 때문에, 복습하는 마음으로 한번 더 읽어보시기 바랍니다. 앞 세 글에서 우리는 양자역학의 F=ma라고 볼 수 있는 슈뢰딩거 방정식에 관해서 알아보았다. 고전역학에서 물체의 운동을 기술하기 위해서 운동 방정식을 풀듯이, 우리는 앞으로 양자 입자의 운동을 기술하기 위해서 특정 전제 조건 하의 슈뢰딩거 방정식을 겁나 풀 것이다. 그래서, 지금은 많이 낯선 슈뢰딩거 방정식이랑 많이 친해지길 바란다. 이제, 양자 입자의 거동을 본격적으로 살펴본다. 일반적으로 입자가 할 수 있는 운동의 종류에는 병진 운동, 회전 운동, 진동 운동이 있다.

6 min PS에서 소수를 다루는 문제는 자주 등장한다. 처음에는 에라토스테네스의 체만 익혀도 대부분의 문제를 해결할 수 있다. 실제로도 소수 판정이나 소수 목록 생성 정도라면 그것만으로 충분한 경우가 많다. 그런데 조금 더 다양한 수론 문제를 접하다 보면 단순히 “소수를 구하는 것”만으로는 부족한 순간이 생긴다. 예를 들어 어떤 수의 최소 소인수를 빠르게 알고 싶을 때, 여러 수를 반복해서 소인수분해해야 할 때, 혹은 오일러 피 함수나 뫼비우스 함수처럼 각 정수에 대한 값을 한꺼번에 전처리하고 싶을 때가 그렇다. 이럴 때 등장하는 것이 Linear Sieve이다. 이름 그대로 선형 시간에 동작하는 체이며, Euler Sieve라고 부르기도 한다. 겉으로 보기에는 에라토스테네스의 체와 크게 다르지 않아 보인다. 그러나 합성수를 처리하는 방식에는 분명한 차이가 있다.