Logicae

우리는 지금까지 분자의 병진운동, 회전운동, 진동운동을 차례로 살펴보면서 양자 입자가 도대체 양자 계에서 어떻게 거동하는지를 살펴보았다. 중간에 나온 르장드르 방정식부터 해서 사다리 연산자까지 여러 수학적 방법이 마구마구 등장해서 "이게 바로 양자역학의 위엄이구나"라는 생각이 들었을 것이다. 분자의 궤도 운동을 3차원으로 확장하면 르장드르 방정식이라는 복잡한 미분방정식으로 레벨 업 하듯이, 양자 입자의 거동은 고전역학에서 운동방정식을 풀듯이 그냥 뚝딱하고 나올만큼 쉽지는 않다. 심지어, 헬륨 원자와 같이 입자가 1개만 더 추가된다면 너무 복잡해진 결과 슈뢰딩거 방정식의 해를 정확히 구할 수 없어진다! 그렇다면 복잡한 실제 양자 계의 거동은 어떻게 분석할 수 있을까? 이때 사용하는 것이 바로 근사적 방법이다. 복잡한 양자 계를 직접 풀기보다는, 풀기 쉬운 형태로 단순화한 뒤 그 해를 이용해 실제 계의 상태와 에너지를 근사하는 것이다.

지난 두 글에 걸쳐서 우리는 양자 입자의 회전 운동에 관해 알아보았다. 복잡한 양자 모델 속에서, 양자 입자가 돌면서 우리의 뇌도 같이 빙빙 도는 신기한 경험을 한 독자들이 많을 것이다. 이제, 양자 입자의 운동 시리즈의 마지막을 장식할 '진동 운동'에 관하여 알아보자. 우리가 휴대폰을 진동 모드로 설정하면 휴대폰이 전화가 왔을 때 부르르르 떨리듯이, 양자 입자들도 부르르르 떨리듯이 진동 운동을 할 수 있다. 진동 모드가 걸려 있는 휴대폰 양자 입자의 진동 운동도 마찬가지다. 부르르르 떨리는 휴대폰이 평균적인 중심 위치는 가만히 있으면서 좌우로 막 떨리는 것처럼, 진동 운동하는 양자 입자도 특정 위치를 중심으로 반복해서 움직인다. 자, 그러면 양자 입자들의 진동 운동의 가장 이상적인 모델인 조화 진동자 모델에 관하여 알아보자. 겉보기에는 사다리 연산자라는 생소한 테크닉이 나와서 어려워 보이지만, 글의 흐름을 잘 따라온다면 충분히 쉽게 이해할 수 있다.

이 글에선 디리클레 적분의 다양한 해법을 살펴본다. 💡 $$\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$$ 이 적분은 $\frac{\pi}{2}$로 수렴함이 잘 알려져있는 유명한 적분이다. 수렴판정을 하려 할 때 바로 절대수렴판정을 쓰려 하면 문제가 생긴다. $$\int_0^{M}\left| \frac{\sin x}{x} \right| dx \leq \int_0^{M}\frac{1}{x} dx$$ 절대수렴하지 않는 교대급수에 절대수렴판정을 쓰려 할 때 문제가 생기듯이 이 상황에서는 합만 적분으로 바뀐 것이다! $$\sum_{n=1}^{M} \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\sum_{n=1}^{M}\frac{1}{n}$$ 이러한 상황에서 진동하는 항들을 이용하기 위해 디리클레 판정법(부분합하기를 이용함)을 쓰듯이, 부분적분을 써서 진동하는 항들끼리 합하여 뭉개고 크기를 결정하는 항이 더 빠르게 감쇄하게 할 수 있다.

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\] 이 값을 닫힌 형식으로 구하라. 정답부터 말하자면 \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi ^2}{6}\] 이 문제는 오일러가 해결한 것으로 유명한 바젤 문제이다. 특히 대수 수식에서 $\pi$가 나왔다는 점에서 유명하다. 어쩌다가 이런 결과가 나왔을까? 이 글에서는 오일러가 최초로 증명할 때 사용한 풀이와 이후 코시가 초등적인 방법으로 한 증명에 대해서 다룬다. 오일러는 $\sin x$를 다항식으로 표현하면서 이 문제를 해결하고자 하였다. 무한 곱 형태로 변환 $\sin x$의 근은 $x=n\pi \quad (n\in\mathbb{Z})$이다. 그러므로 $\frac{\sin x}{x}$의 근은 $x=n\pi \quad (n\in\mathbb{Z}\setminus {0})$이다. 오일러는 이 근을 보고 $\frac{\sin x}{x}$를 인수분해한 다항식의 꼴로 표현하려고 하였다.

쥐불놀이라고 들어봤는가? 대부분 초등학교 응애 시절때 한번쯤 배워봤을 것이다. 쥐불놀이란 정월 대보름 전날에 깡통에 불을 붙여 빙빙 돌리는 놀이이다. 이 놀이를 하고 있는 모습을 보면 불 모양이 원 모양으로 보여서 매우 예쁘다. 쥐불놀이 하고 있는 아이들 (사진 출처: Pinterest 사이트에 minddesign 이용자가 올린 사진) 여기서, 불이 붙은 깡통은 길이가 일정한 줄에 연결되어서 중심에 있는 사람에 대해 빙빙 회전하고 있다. 즉, 불이 붙은 깡통은 사람이 서 있는 위치를 중심으로 하는 구면 위를 돌아다니고 있다고 볼 수 있다. 이번 글에서는 이 쥐불놀이처럼 양자 입자가 구면 위를 막 회전하고 다니는 구면 상의 입자 문제에 대해 알아본다. 지난 글에서 양자 입자가 원 위를 회전했다면, 이번 글에서는 3차원 버전 회전 운동을 살펴보는 것이다.

자연수 집합이 무한히 많은 소수를 포함한다는 사실은 고전적이고 일반적인 결과인 만큼 오래전부터 수많은 방법으로 증명되어 왔다. 그중 가장 유명한 것은 유클리드의 증명일 것이다. 소수가 유한하다고 가정하고 그들을 크기 순서대로 \( p_1,\,p_2, \cdots , p_k \) 라 하자. 그리고 다음과 같은 자연수를 새로 정의한다. \[ N = p_1 p_2 p_3 \cdots p_k +1\] \( p_1 =2 > 1 \)이므로 \( N > p_k\)이고 \( p_k\)는 가장 큰 소수이므로 \( N \)은 소수가 아니다. 그러나 모든 \( i = 1,2,3, \cdots k\)에 대해 \( N\)을 \( p_i \)로 나눈 나머지가 1이므로 \(N\)은 어떠한 소수로도 나누어 떨어지지 않는다. 따라서 \(N\)은 소수이다. 이는 \( N\)이 소수가 아니라는 사실에 모순이며, 따라서 소수는 무한하다. 그러나 여러 명제가 그러하듯이 소수의 무한성을 증명하는 방법은 하나가 아니다.

Math 15 min Photo by Shubham Dhage / Unsplash 경기과학고등학교 수학 III의 벡터 단원에서는 내적, 엄밀히는 점곱(dot product)을 통해 두 벡터의 수직 여부, 각도, 거리 등을 계산한다. 내적은 두 벡터를 입력받아 하나의 실수를 출력하는 이항연산으로 정의되며, 기하적으로 두 벡터가 이루는 각과 관련된다. 한편 3차원 공간에서는 두 벡터를 입력받아 하나의 벡터를 출력하는 외적(cross product)이 정의된다. 두 벡터 \(a,b\)의 외적 \(a\times b\)는 \(a\)와 \(b\)에 모두 수직이고, 그 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같다. 점곱은 \(\mathbb{R}^n\)의 표준 내적처럼 여러 차원의 내적공간에서 정의할 수 있다. 반면 외적은 일반적으로 3차원 벡터공간에서만 이용된다. 실제로 3차원 외적과 같은 성질을 모두 만족하는 연산은 대부분의 유한차원 벡터공간에서 정의되지 않는다.

Computer Science 18 min Photo by Luke Jones / Unsplash 선형 회귀는 머신러닝을 공부할 때 첫 번째로 배우는 가장 기본적인 모델 중 하나이다. 하지만 선형회귀를 자세히 살펴보면 그 이론적 기반은 결코 간단하지 않다는 사실을 알 수 있. 본 포스트에서는 선형 회귀의 정의에서부터 시작해, 선형 회귀와 관련된 여러 수학적 이론을 체계적으로 다루는 것을 목표로 한다. 가장 단순한 형태의 선형 회귀부터 살펴보자. 선형 회귀에서 가설은 입력 변수들과 상수항의 선형결합으로 표현된다. 하나의 입력 변수 \(x\)로 출력 \(y\)를 예측하는 단순 선형 회귀(simple linear regression)는 다음과 같은 가설로 나타낼 수 있다. \[ h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1x \] 여기서 \(\theta_0\)은 절편(intercept), \(\theta_1\)은 기울기(slope)에 해당하는 파라미터이다.

Computer Science 15 min Photo by Conny Schneider / Unsplash 지난 포스트에서는 선형회귀의 기본적인 구조와 비용 함수, 경사하강법을 살펴본 뒤, 데이터가 확률분포에 따라 생성된다고 보는 확률 모형을 간단히 소개하며 글을 마무리했다. 처음 접하는 독자에게는 확률 모형이 앞선 내용과 다소 동떨어진 것으로 느껴질 수 있다. 한편 선형회귀를 학습할 때는 일반적으로 평균제곱오차를 비용 함수로 사용한다. 그러나 절댓값 오차나 다른 형태의 함수를 사용할 수도 있는데, 왜 하필 오차의 제곱을 최소화하는 것일까? 단순히 미분하기 편하고 계산이 간단하기 때문일까? 놀랍게도 이 질문에 대한 답은 앞서 소개한 확률 모형에서 얻을 수 있다. 실제 관측값이 선형회귀 모델의 예측값을 중심으로 정규분포를 따른다고 가정하면, 관측된 데이터가 나타날 가능성을 가장 크게 만드는 과정은 정확히 제곱오차를 최소화하는 과정과 일치한다.

지금까지 양자 입자의 병진운동에 관해 알아보았다. 양자 입자의 병진운동을 공부하면서 고전역학으로 전혀 말이 되지 않았던 에너지의 양자화나 터널링과 같은 신기한 현상들을 마주해 머리가 핑핑 돌았을 것이다. 이제, 양자 입자의 또 다른 운동 방식인 "회전 운동"으로 넘어가자. 언뜻 보면 똑같이 슈뢰딩거 방정식을 푸는 거라서 비슷해 보이지만, 여기서는 양자 입자가 돌고 있기 때문에 양자 입자의 "각운동량"을 고려해줘야해서 많이 다르다! 양자 입자의 회전 운동을 기술하는 모델에는 1,2,3차원 상자 속 입자 모델을 구분한것처럼 2차원 상의 회전 운동을 나타내는 고리 위 입자 문제, 3차원 상의 회전 운동을 나타내는 강체 회전자 모델이 있다. 이번 글에서는 이 중 고리 위 입자 모델에 관해 알아보자. 빙글빙글 돌고 있는 발레리나 (사진 출처: ChatGPT가 생성한 이미지) 자, 그러면 정신없이 빙글빙글 돌고 있는 입자의 거동을 살펴보자! 고리 위 입자 문제란?