Historiador del Arte, especializado en Historia del Cine. Director de la Filmoteca de Cantabria Mario Camus. En mis ratos libres escribo pastiches holmesianos.
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Articles by Franco Torre
Il metodo conta più della risposta esatta. Soprattutto nell’epoca della AI
Se conveniamo che ciò che più conta è il ragionamento seguito per giungere alla soluzione dei problemi, si dovrebbe agire in modo che la scuola cambi radicalmente il modo d’insegnare la matematica e, di conseguenza, quello di verificare le capacità acquisite dagli studenti Segui i temi scuola intelligenza artificiale Essere di fronte a un problema da risolvere non è come essere di fronte a un quiz, con la lancetta dei secondi che segna il tempo entro il quale il concorrente è chiamato a dare...
Soluzione al problema del cerchio e del triangolo rettangolo
"Vannacci è come Conte, un Barbapapà. Non ci alleiamo con lui" Il sottosegretario alla Presidenza del Consiglio parla con il Foglio di elezioni ("C'è il rischio concreto di ingerenze russe"), del centrodestra ("A oggi nessun leader è più completo di Meloni"), dello sfidante ("sarà Schlein"), del Quirinale ("Non è ancora il momento di Giorgia")
Cerchio e triangolo rettangolo
"Abbiamo il diritto di non essere spiati" è la protesta dei carcerati trasmessa sui social con uno smartphone (che non avrebbero dovuto possedere). Raccontano che la direzione del carcere Don Bosco li ha fatti uscire dalle celle per un paio d'ore con la scusa di eseguire una prova di evacuazione e al loro rientro hanno scoperto la presenza di cimici e altri dispositivi nascosti
Un cerchio in un semicerchio: la soluzione
Individuiamo i punti Q (il centro del cerchio) e O (il centro del semicerchio); uniamo quindi O con T e Q con A. Poiché ABC è un triangolo rettangolo, si ha senα = 3/5 e cosα = 4/5, per cui tan(α/2) = 1/3. Visto che AQ è la bisettrice dell’angolo α, r (raggio del cerchio) misura AR·tan(α/2), vale a dire (5+x)/3, dove x è il tratto OR.
Un cerchio in un semicerchio
Il diametro AC del semicerchio è l’ipotenusa del triangolo ABC, i cui cateti valgono 8 (AB) e 6 (BC); quanto vale il raggio del cerchio, che è tangente in T al semicerchio, in P al cateto AB e in R all’ipotenusa? Al prossimo giovedì per la soluzione.
Un piccolo triangolo isoscele: la soluzione
Il Δ isoscele ABC ha base AB e angoli alla base di 20°. Prolungando BC fino ad incontrare la retta che forma con AC un angolo di 110° si ottiene un punto (D) che dista da C quanto A da B. Perché? Tracciamo da A e B le rette t e p, inclinate di 40° con AC e BC. Il loro punto d’incontro è il vertice O del triangolo equilatero AOB.
Un piccolo triangolo isoscele
Il Δ isoscele ABC ha base AB e angoli alla base di 20°. Prolungando BC fino ad incontrare la retta che forma con AC un angolo di 110° si ottiene un punto (D) che dista da C quanto A da B. Perché? Al prossimo giovedì per la risposta.
Soluzione del problema dei due quadranti
Uniamo A e C; poiché <AOC=90°, <ACO=<OAC=45° e di conseguenza <DCA = π/8, per cui 2α= 45°. Prolunghiamo BD e AC e chiamiamo H il punto d’incontro dei prolungamenti; essendo <BDC = 90°, BH e DC sono perpendicolari; dal momento poi che <BAC = 90°, <HBA = <DCH = α = π/8. Tracciamo adesso da B la perpendicolare al diametro BC e chiamiamo F e G i punti in cui questa incontra i prolungamenti di DC e HC; essendo <FBC = 90°, <FBH = 45° - α e quindi <FBH = α.
Il problema dei due quadranti
Il senatore di Fratelli d'Italia ed ex presidente di Palazzo Madama al Qn: "Per rendere irrilevanti i Vannacci occorre il ballottaggio. Anche a sinistra ne hanno: Conte è un Vannacci senza stellette. Hanno tutti idee rudimentali, non elaborate da un pensiero critico, non mediate da responsabilità: sono sordi, opportunisti, miopi"
Triangolo rettangolo isoscele sopra semicerchio: la soluzione
BC è il diametro del semicerchio e l’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele ABC. L’angolo FAG vale 45°; BD, DE e EC formano la terna pitagorica 3, 4, 5 (BD=3, EC=4, DE=5). Quanto vale l’area del quadrilatero FDEG? Individuiamo il centro del semicerchio (O) e uniamolo con A, F e G. Tracciamo quindi da F e da G le rette p e t, parallele al raggio AO e chiamiamo M e N i punti in cui p e t intersecano BC. Chiamiamo α l’angolo DAO e β l’angolo EAO. Poiché α+β=45°, <OGN=FOM=2β e <OFM=<GON=2α.
La cultura è una: scienza e letteratura si alimentano a vicenda
Che nel mondo accademico italiano sia fortemente radicata la convinzione che esista una distinzione tra cultura umanistica e cultura scientifica è qualcosa che ho avuto modo di sperimentare, per la prima volta, in occasione del mio esame di maturità classica.
Quadrilatero in pentagono regolare: la soluzione
L’area di un pentagono regolare è data dal prodotto del quadrato del lato per la sua costante d’area; l’area del pentagono ABCDE è quindi 32·1,72 = 15,48. Se da questa sottraiamo la somma delle aree dei tre triangoli ABF, FCG e GDE otteniamo l’area cercata. L’area ABF è ½·AB·AF·sen27°, cioè ½·12·0,4540=2,724. Indicato con m il tratto BF, la stessa area è esprimibile anche come ½ AB·BF·sen108°, cioè ½ 3·m·sen108° Poiché i triangoli ABF e FCG sono simili, CG vale AB·FC/BF per cui CG=(9-3m)/m.
Un quadrilatero in un pentagono regolare
Ormai spesso suonano a vuoto, con concetti ormai lontanissimi dal loro significato storico. È necessaria una ecologia critica del linguaggio, che ne restituisca il significato storico. Alcuni studiosi si sono messi all'opera, offrendo un'analisi del vocabolario dell'illibertà
Cerchio e triangolo: la soluzione
M è il punto medio dell’arco di circonferenza AB e l’angolo in C del triangolo AOC vale 36°. La conoscenza di questi 2 dati permette di esprimere il valore del tratto BC in funzione del raggio del cerchio. Perché? Prolunghiamo il lato OC del triangolo fino a toccare la circonferenza e chiamiamo D il punto d’intersezione. Uniamo M con B e col centro del cerchio e osserviamo la figura che viene fuori da questa costruzione.
Cerchio e triangolo
Appuntamento al prossimo giovedì per la soluzione M è il punto medio dell’arco di circonferenza AB e l’angolo in C del triangolo AOC vale 36°. La conoscenza di questi 2 dati permette di esprimere il valore del tratto BC in funzione del raggio del cerchio. Perché? Appuntamento al prossimo giovedì per la soluzione.
Soluzione al problema dell'area del rettangolo
Tracciamo da E le parallele ai lati del rettangolo ABCD e ragioniamo sulla figura che viene fuori. Dalla a+b+c+d=m+n, m e n valgono, rispettivamente, a+b+c+d–n e a+b+c+d-m. Teniamo ora conto che l’area ABE (cioè a) è la somma delle aree BGE e AGE e che l’area ECD può essere espressa tanto come ECH+EHD quanto come b+n. Di conseguenza a+b+n = BGE+AGE+ECH+EHD.
L’area del rettangolo (di F. Torre)
Al prossimo giovedì per la risposta. Indichiamo con le lettere a, b, c, d, m, n (nell’ordine) le aree ABE, EFD, BEF, AED, BFC, FCD. Se i valori a, b, d, n sono noti, è possibile conoscere quanto vale l’area del rettangolo ABCD. Perché? Al prossimo giovedì per la risposta.
Con la matematica tutti possiamo gridare eureka!
Ogni giorno di più ci si accorge di quanto il processo di digitalizzazione stia ampliando il campo di applicazione della matematica, interessando un numero sempre maggiore di ambiti della nostra vita quotidiana. È sperabile che questo fatto faccia capire quanto la matematica sia importante e, proprio per questo, quanto sia centrale il suo insegnamento.
Semicerchio e sezione aurea: la soluzione
Sapendo che D è il punto medio di OB (raggio del semicerchio con centro O) e che ED = CD, dimostrare perché OB è la sezione aurea di EB. Uniamo i punti E e C e chiamiamo x il tratto EO. Detto r il raggio del semicerchio, per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo COD si ha che (r/2 + x)2 = r2 + (r/2)2. Ne consegue che x·(x + r) = r2, cioè EO·BE = OC2 = OB2. Questo vuol dire che BE:OB = OB:EO, il che significa che OB è la sezione aurea di EB. Q.E.D.
Semicerchio e sezione aurea
Sapendo che D è il punto medio di OB (raggio del semicerchio con centro O) e che ED = CD, dimostrare perché OB è la sezione aurea di EB. A giovedì prossimo per la soluzione.
Un importante teorema dell’antichità: la soluzione
Dato il quadrilatero ABCD inscritto nel cerchio, dimostrare perché il prodotto delle diagonali AC e BD è uguale alla somma dei prodotti AB·CD e AD·BC. Tracciamo, dal punto B, la retta che forma col lato AB un angolo uguale all’angolo CBD e chiamiamo E il punto in cui questa retta interseca la diagonale AC. Il triangolo ABE risulta simile al triangolo DBC e quindi AB/AE = BD/CD o AB·CD = AE·BD.
Un importante teorema dell’antichità
La furba campagna di Renzi fa infuriare Giorgia Meloni Un manifesto di Italia Viva su un maxi schermo a Termini accende lo scontro politico sui ritardi dei treni. Palazzo Chigi chiede spiegazioni, Ferrovie finisce nel mirino per un autogol comunicativo. La campagna di Renzi cavalca i social con l’estetica del Ventennio
Soluzione problema del cerchio e del rombo
Chiamiamo H il punto in cui DG interseca la circonferenza e I il punto in cui HF taglia la diagonale AC. Uniamo H con F e O con H, F e G. Essendo <ACB = <ACD, i Δ HCI e FCI sono uguali e quindi HC = FC. Essendo OH = OF, i Δ OCF e OCH sono uguali e quindi <CFO = <CHO = <CGO. OE = OF e quindi l’ipotesi di partenza può essere scritta come AO : FO = FO : CO.
Problema del cerchio e del rombo
Al prossimo giovedì per la soluzione. Nella figura sono disegnati un rombo (ABCD) ed un cerchio (con centro O). Dimostrare perché, se AO : EO = EO : CO, allora i punti A, F e G sono collineari. Al prossimo giovedì per la soluzione.
Soluzione del cerchio inscritto in un quadrato
Sapendo che l’angolo ECD vale 15°, dimostrare perché l’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele FGH è uguale al lato del quadrato ABCD che circoscrive il cerchio con centro O Congiungiamo il centro del cerchio con i punti C, G e M (punto medio della corda FG). Detto l il lato del quadrato, OC=l √2/2 e OM=1/2 OC (essendo, per ipotesi, <ECD = 15°, l’angolo OCM del triangolo rettangolo OCM è di 30° e di conseguenza OM=l√2/4.
Il problema del cerchio inscritto in un quadrato
Al prossimo giovedì per la soluzione Sapendo che l’angolo ECD vale 15°, dimostrare perché l’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele FGH è uguale al lato del quadrato ABCD che circoscrive il cerchio con centro O. Al prossimo giovedì per la soluzione.
Il problema del rombo
TRUMP, IL RE PAZZO PRESO PER IL NASO DA MEZZO MONDO Prima Putin, ora Netanyahu e gli ayatollah: il presidente non è più solo una fabbrica di caos, ma un credulone turlupinato ogni giorno. La gara a prenderne le distanze (da Macron al Papa passando per Meloni) traccia il declino di un’istituzione più che di un uomo
Un quadrilatero ciclico: la soluzione
NO KINGS, ONLY THE BOSS Da Springsteen a Minneapolis, anima d'America Un concerto teso, ruggente, doloroso, intriso di sofferenza eppure di fiducia. Dal Target Center – nella città dove la polizia ha ucciso Renée Good e Alex Pretti – parte il più politico dei tour, che toccherà centri “costretti ad affrontare il terrore dell'Ice” come Philadelphia e San Francisco, e si chiuderà a Washington
Un quadrilatero ciclico
Sapendo che B e C sono punti di tangenza e che gli angoli BAD e CAD sono uguali, dimostrare che i lati opposti del quadrilatero ABGC hanno lo stesso prodotto, che cioè AB·GC = AC·BG. Al prossimo giovedì per la soluzione.
Ragionamento contro calcolo
Sia data l’equazione x2 + ax – a2 = 0, dove la lettera a indica un valore noto e la lettera x l’incognita. Se per risolverla per via algebrica basta applicare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, la famosa [- b ± √(b2 – 4 ac)] : 2a, per trovare la soluzione per via geometrica bisogna ricorrere al ragionamento. D’altra parte, se la matematica è innanzitutto ragionamento, la geometria, che della matematica è la regina, è il regno del ragionamento.
Il numero misterioso: la soluzione
Dall’informazione sul quinto numero (430) sappiamo che vanno esclusi il quattro, il tre e lo zero. Da quella sul terzo numero (910) possiamo quindi dire che 9 e 1 sono due delle tre cifre che compongono il numero misterioso. Tenuto conto delle informazioni sul secondo e sul quarto numero, il 9 non può che essere la cifra che occupa la posizione centrale del numero misterioso.
Di che numero si tratta?
Il problema di oggi consiste nell’individuazione di un numero formato da tre cifre. La chiave che risolve il mistero sta nelle informazioni sui cinque numeri che seguono: Del primo (687) si sa che soltanto una delle tre cifre che lo compongono è giusta e che questa si trova nella posizione giusta. Del secondo (429) si sa che soltanto una delle tre cifre è giusta e che questa si trova nella posizione sbagliata.
Soluzione del problema del rombo e del cerchio (di F. Torre)
Dati il rombo ABCD e il cerchio con centro O, dimostrare che il raggio OH (H è il punto medio dell’arco EG) è medio proporzionale tra AO e OC. Uniamo E con G. Essendo <ACD = <ACB, EC = CG. Uniamo O con E, F e G. I triangoli COE e COG sono uguali, per cui <CGO = <CEO e quindi <CGO = <CFO. Essendo <EFG = 1/2 <EOG, <COG = <CFA. <ECO = <ACF (opposti al vertice, nonché supplementari di angoli uguali) e pertanto, essendo i Δ EOC e ACF simili, gli angoli OEC e CAF sono uguali.
Il rombo e il cerchio
Al prossimo giovedì per la soluzione Dati il rombo ABCD e il cerchio con centro O, dimostrare che il raggio OH (H è il punto medio dell’arco EG) è medio proporzionale tra AO e OC. Al prossimo giovedì per la soluzione.
Soluzione del problema dell'angolo e della bisettrice (di F. Torre)
Gli angoli EAC e DBE sono uguali (entrambi insistono sull’arco DC), così come sono uguali gli angoli BCA e BDE (entrambi insistono sull’arco BA). Questo significa che i triangoli AEC e BED sono simili e quindi BD/DE=AC/EC. Essendo AC/EC = (AB+AC)/BC, (AB+AC) × DE = BC × BD.
L'angolo e la bisettrice
Lo chiamano "riassetto strategico", ma è un bagno di sangue. Un taglio di 300 giornalisti, l'addio alle sezioni sport e libri, la rinuncia a corrispondenze estere (tra cui Kiev). Per The Atlantic "stiamo assistendo a un assassinio", per The New Yorker "che fine ha fatto il Bezos del 2013?"
Soluzione al problema dell'angolo incognito (di F. Torre)
Del triangolo ABC sono note le ampiezze degli angoli ACD (10°), DCB (30°), CAE (20°) e BAE (50°). Trovare (per via geometrica) quanto vale l’angolo ABF Tracciare da B la perpendicolare a AE; H, I e G sono i punti in cui questa interseca, rispettivamente, AE, DC e AC. Utilizzando i dati del problema otteniamo che <ABC = 70° e <CFE = 30°. <FEC vale quindi 60°, per cui <HBE = 30°. Essendo AG perpendicolare a AE, l’angolo AGB vale 70° e quindi <BGC = 110°.
L'angolo incognito
Ovvero il palcoscenico di due sopravvissuti all’oscurità iraniana
Soluzione del problema del recinto di mattonelle
Con 36 mattonelle quadrate, tutte uguali e di lato 25 cm, Paolo recinta un’area, anch’essa quadrata. Quante altre mattonelle, uguali a quelle 36, gli servono per riempire completamente l’area recintata? Se M è la singola mattonella, quello disegnato sotto è il recinto quadrato costruito da Paolo con 36 mattonelle. Le mattonelle che Paolo deve usare per riempire completamente l’area recintata sono quindi 64.
Il problema del recinto quadrato (di F. Torre)
A giovedì prossimo per la soluzione Con 36 mattonelle quadrate, tutte uguali e di lato 25 cm, Paolo recinta un’area, anch’essa quadrata. Quante altre mattonelle, uguali a quelle 36, gli servono per riempire completamente l’area recintata? A giovedì prossimo per la soluzione di questo problema. P.S. Si tratta di un problema che, appena letto, appare molto facile da risolvere.
La soluzione del problema del triangolo e le sue simmediane
Uniamo A con M. Essendo gli angoli MAE e RAE uguali, <BAM = <CAR, così come <BAR = <CAM. I triangoli BAM e CAR hanno la stessa altezza e pertanto il rapporto tra le loro aree è uguale a BM/RC. Il rapporto tra le due aree è anche esprimibile come AB·AM/AC·AR, per cui BM/RC = AB·AM/AC·AR. I triangoli BAR e CAM hanno la stessa altezza e pertanto il rapporto tra le loro aree è uguale a BR/CM. Il rapporto tra le due aree è anche esprimibile come AB·AR/AC·AM, per cui BR/CM = AB·AR/AC·AM.
Il triangolo e le sue simmediane
Il discorso di Natale di Zelensky, che parla del "sogno condiviso" degli ucraini, "ma quando ci rivolgiamo a Dio chiediamo qualcosa di più grande. Chiediamo la pace. Lottiamo per essa. E preghiamo per essa. E la meritiamo"
La quadratura del cerchio
Probabilmente non esiste un problema che abbia affascinato così tanto gli esseri umani come quello della quadratura del cerchio. Ma la cosa strana è che ad essere state colpite da questo fascino, più ancora dei matematici, siano le persone non matematiche. Tra queste, una delle più famose è Dante. Nella Divina Commedia, per esempio, Dante, che non era un matematico, parla di questo famoso problema.
La soluzione al problema della parabola
Premessa Se, da un punto della parabola y2 = x, si conduce la tangente a questa, la tangente interseca l’asse della parabola in un punto che dista dal suo vertice quanto il piede della perpendicolare all’asse della parabola condotta da quel punto. Questo significa che (con riferimento al disegno) AO è uguale a BO (la dimostrazione di questa uguaglianza è riportata in calce alla soluzione del problema). Soluzione del problema.
Il problema della parabola (di F. Torre)
Al prossimo giovedì per la soluzione La retta t è tangente in D alla parabola p e DB e OC sono perpendicolari alla retta x, asse della parabola. La parabola ha equazione è y2 = x, vertice nel punto O (origine degli assi) ed F come fuoco. Sapendo che OC vale 4 OF, dimostrare che, quale che sia la posizione sulla parabola del punto D, la distanza DF è pari alla distanza AF, dove A è il punto in cui la tangente t interseca l’asse x. Al prossimo giovedì per la soluzione.
Soluzione del problema del triangolo diviso in 4 parti
Se l’area del triangolo BED vale 2 volte quella del triangolo DFC e questa è 1/3 dell’area del triangolo BDC, quanto vale il rapporto tra l’area del quadrilatero AEDF e quella del triangolo DFC? Dal momento che l’area del triangolo BDC vale 3 volte quella del triangolo DFC, BD vale 3 DF (le aree di triangoli aventi la stessa altezza sono proporzionali alle rispettive basi). Uniamo E con F. L’area del quadrilatero AEDF risulta così essere la somma delle aree dei triangoli AEF e DEF.
Il problema del triangolo diviso in 4 parti (di F. Torre)
Al prossimo giovedì per la soluzione Se l’area del triangolo BED vale 2 volte quella del triangolo DFC e questa è 1/3 dell’area del triangolo BDC, quanto vale il rapporto tra l’area del quadrilatero AEDF e quella del triangolo DFC? Al prossimo giovedì per la soluzione.
Soluzione al problema su cerchio, semicerchio e triangolo rettangolo (di F. Torre)
Il cerchio è tangente sia a due lati del triangolo rettangolo ABC che al semicerchio. Il cerchio è tangente sia a due lati del triangolo rettangolo ABC che al semicerchio. Sapendo che il diametro del cerchio è 1/4 di quello del semicerchio (che vale 8), quanto vale il cateto AB? FC è esprimibile sia come ipotenusa del triangolo rettangolo DFC che come ipotenusa del triangolo rettangolo EFC. Si ha pertanto: FD2 + DC2 = FE2 + EC2.
Il problema di cerchio, semicerchio e triangolo rettangolo (di F. Torre)
Nell'era dei social la soglia dell'attenzione è fissata a 8 secondi. Partiti e leader politici si adeguano, con risultati a volte spettacolari, altre volte ai limiti dell'imbarazzo. Dai salami di Salvini alla faida di Halloween tra Pd e FdI, passando per gli improbabili testimonial del referendum, tutti a caccia di like. Diamanti (Youtrend): “Tutto va fatto su misura, altrimenti diventa cringe”
La matematica è un bene-rifugio (di F. Torre)
La regina delle scienze permette infatti di trovare un barlume di razionalità a cui aggrapparsi per resistere al caos del mondo Hobbes individuò nella geometria, vale a dire nella regina della matematica, il modello al quale fare riferimento se si vuole condurre un ragionamento sensato, razionale. La matematica, infatti, non è il banale far calcoli, ma ragionare. Proprio come l’italiano.
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